設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=
2n-1
2n
,n∈N*
,求{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)利用S4=4S2,a2n=2an+1,組成方程組,求出首項(xiàng)與公差,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)利用條件再寫(xiě)一式,兩式相減,結(jié)合(1)的結(jié)論,即可求{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)利用錯(cuò)位相減法,可求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn
解答:解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由S4=4S2,a2n=2an+1得
4a1+6d=8a1+4d
a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1
----(2分)
解得a1=1,d=2-----(4分)
an=2n-1,n∈N*----(5分)(注:不寫(xiě)n∈N*扣1分)
(2)由已知
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
,n∈N*
,---①
當(dāng)n=1時(shí),
b1
a1
=
1
2
,n∈N*
;---(6分)
當(dāng)n≥2時(shí),
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn-1
an-1
=1-
1
2n-1
,---②
將①-②,得
bn
an
=1-
1
2n
-(1-
1
2n-1
)
=
1
2n
(n≥2)
,----(7分)
bn
an
=
1
2n
(n≥2)
,
由(1)知an=2n-1,n∈N*,∴bn=
2n-1
2n
(n≥2)
------(8分)
∴檢驗(yàn)n=1,b1=
1
2
•1=
1
2
,符合,
bn=
2n-1
2n
(n∈N*)
---(9分)
(3)由已知得Tn=
1
2
+
3
22
+…+
2n-1
2n
----③,
1
2
Tn=
1
22
+
3
23
…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
----④----(10分)
將③-④,得,
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
-----13
Tn=3-
2n+3
2n
----(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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