Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

2n-1

2n

，n∈N*，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，組成方程組，求出首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用條件再寫一式，兩式相減，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

----（2分）
解得a₁=1，d=2-----（4分）
∴an=2n-1，n∈N*----（5分）（注：不寫n∈N^*扣1分）
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N*，---①
當(dāng)n=1時(shí)，

b1

a1

=

1

2

，n∈N*；---（6分）
當(dāng)n≥2時(shí)，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=1-

1

2n-1

，---②
將①-②，得

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

(n≥2)，----（7分）
∴

bn

an

=

1

2n

(n≥2)，
由（1）知an=2n-1，n∈N*，∴bn=

2n-1

2n

(n≥2)------（8分）
∴檢驗(yàn)n=1，b1=

1

2

•1=

1

2

，符合，
∴bn=

2n-1

2n

(n∈N*)---（9分）
（3）由已知得Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

----③，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

----④----（10分）
將③-④，得，

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

-----13
∴Tn=3-

2n+3

2n

----（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．