Question

【題目】已知球內(nèi)接四棱錐P﹣ABCD的高為3，AC，BC相交于O，球的表面積為 ，若E為PC中點．
（1）求證：OE∥平面PAD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：由O，E分別是CA，CP的中點，得OE∥AP，

且滿足OE平面PAD，AP平面PAD，所以O(shè)E∥平面PAD．

（2）解：由球的表面積公式S=4πR2，得球的半徑 ，

設(shè)球心為O1，在正四棱錐P﹣ABCD中，高為PO，則O1必在PO上，

連AO1，則 ，

則在Rt△O1OA，則 ，即OA=2，

在正四棱錐P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD于O，且AC⊥BD于O，

設(shè)OA，OB，OP為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz系，

得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），PC中點 ，

所以 ，

設(shè) 分別是平面ABE和平面CBE的法向量，

則 和 ，

可得 ，則 ，

由圖可知，二面角A﹣BE﹣C的大小為鈍角，

所以二面角A﹣BE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）由O，E分別是CA，CP的中點，得OE∥AP，即可得OE∥平面PAD．（2）由球的表面積公式S=4πR2，得球的半徑 ，設(shè)球心為O1，在正四棱錐P﹣ABCD中，高為PO，則O1必在PO上，連AO1，在Rt△O1OA，可得OA=2，設(shè)OA，OB，OP為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz系，得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），PC中點 ，利用向量法求解．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．