Question

20．在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，$\frac{π}{2}$），點(diǎn)B在直線ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0上運(yùn)動(dòng)，則線段AB長的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將直線ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0化為一般方程，再利用線段AB最短可知直線AB與已知直線垂直，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立方程求出B的坐標(biāo)，從而求解．

解答 解∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直線ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=0，
可得x+$\sqrt{3}$y=0，①
∵在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，$\frac{π}{2}$），
∴在直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（0，2），
∵動(dòng)點(diǎn)B在直線x+$\sqrt{3}$y=0上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB垂直于直線x+$\sqrt{3}$y=0，
設(shè)直線AB為：y-2=$\sqrt{3}$x，即y=$\sqrt{3}$x+2…②，
聯(lián)立方程①②求得交點(diǎn)B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查極坐標(biāo)與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，是一道基礎(chǔ)題，注意極坐標(biāo)與一般方程的關(guān)系：ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，tanθ=$\frac{y}{x}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ．