如圖,M是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在單位圓上,∠MOP=x(0<x<π),
OQ
=
OM
+
OP
,四邊形OMQP的面積為S,函數(shù)f(x)=
OM
OQ
+
3
S

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若f(A)=3,b=1,S△ABC=
3
,求a的值.
分析:(1)由題意,|
OQ
|=
(1+cosx)2+sin2x
,化簡(jiǎn)得|
OQ
|=2|cos
1
2
x|,從而得到
OM
OQ
=2cos2
1
2
x=1+cosx;四邊形OMQP的面積S=|
OM
|•|
OP
|sin∠POM=sinx.代入題中的表達(dá)式并化簡(jiǎn)整理,得f(x)=2sin(x+
π
6
)+1,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)f(A)=3,解出A=
π
3
,再由面積正弦定理算出邊c=4,最后利用余弦定理即可計(jì)算出邊a的值.
解答:解:(1)由題意,得M(1,0),P(cosx,sinx),
OQ
=
OM
+
OP
=(1+cosx,sinx)
得四邊形OMQP的面積S=|
OM
|•|
OP
|sin∠POM=sinx
OM
OQ
=|
OM
|•|
OQ
|cos∠QOM=1×
(1+cosx)2+sin2x
×cos
1
2
x
(1+cosx)2+sin2x
=
2+2cosx
=
2+2(2cos2
x
2
-1)
=2|cos
1
2
x|
∵0<
1
2
x<
π
2
,得cos
1
2
x是正數(shù),∴
OM
OQ
=2cos2
1
2
x=1+cosx
因此,f(x)=
OM
OQ
+
3
S
=1+cosx+
3
sinx=2sin(x+
π
6
)+1
即函數(shù)f(x)的表達(dá)式為y=2sin(x+
π
6
)+1
令-
π
2
+2kπ≤x+
π
6
π
2
+2kπ(k∈Z),得-
3
+2kπ≤x≤
π
3
+2kπ(k∈Z)
∴f(x)的增區(qū)間為[-
3
+2kπ,
π
3
+2kπ](k∈Z)
(2)f(A)=2sin(A+
π
6
)+1=3,得sin(A+
π
6
)=1
結(jié)合A∈(0,π),得A=
π
3

S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
,即
1
2
×1×c×sin
π
3
=
3
,可得c=4
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2×1×4×cos
π
3
=13
∴a=
13
點(diǎn)評(píng):本題給出單位圓中的向量,求四邊形面積和向量的數(shù)量積,并求與之相關(guān)的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.著重考查了平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換和利用正余弦定理解三角形等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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如圖,M是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在單位圓上,∠MOP=x(0<x<π),
OQ
=
OM
+
OP
,四邊形OMQP的面積為S,函數(shù)f(x)=
OM
OQ
+
3
S

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若f(A)=3,a=2
3
,b=2
,求c的值.

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如圖,M是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在單位圓上,,四邊形OMQP的面積為S,函數(shù)

(1)求函數(shù)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若,求a的值。

 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖南師大附中高三第三次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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(2)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若,求c的值.

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