.已知圓O：x2+y2=b2與直線l：y=
3
(x-2)相切．
（1）求以圓O與y軸的交點為頂點，直線在x軸上的截距為半長軸長的橢圓C方程；
（2）已知點A(1，
3
2
)，若直線與橢圓C有兩個不同的交點E，F(xiàn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)；問直線的斜率是否為定值？若是求出這個定值；若不是，請說明理由．
分析：（1）因為直線l：y=
3
(x-2)在x軸上的截距為2，所以a=2．由直線與圓相切得
|-2
3
|
(
3
)2+(-1)2
=
3
=b由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AE方程為y=k(x-1)+
3
2
，代入
x2
4
+
y2
3
=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(
3
2
-k)2-12=0．設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），因為點A(1，
3
2
)在橢圓上，所以xE=
4(
3
2
-k)2-12
3+4k2
，yE=-kxE+
3
2
-k．由此能求出直線EF的斜率為
1
2
．
解答：解：（1）因為直線l：y=
3
(x-2)在x軸上的截距為2，
所以a=2，…（2分）
直線的方程變?yōu)?span id="pu27dgk" class="MathJye">
3
x-y-2
3
=0，
由直線與圓相切得
|-2
3
|
(
3
)2+(-1)2
=
3
=b…（4分）
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（5分）
（2）設(shè)直線AE方程為y=k(x-1)+
3
2
，…（6分）
代入
x2
4
+
y2
3
=1得：(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(
3
2
-k)2-12=0…（8分）
設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），
因為點A(1，
3
2
)在橢圓上，
所以xE=
4(
3
2
-k)2-12
3+4k2
，yE=-kxE+
3
2
-k…（10分）
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
同理可得：xF=
4(
3
2
+k)2-12
3+4k2
，
yF=-kxF+
3
2
+k…（12分）
所以直線EF的斜率為kEF=
yF-yE
xF-xE
=
-k(xE+xF)+2k
xF-xE
=
1
2
…（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識和圓的簡單性質(zhì)，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，點O為坐標原點，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達式，并注明k的取值范圍；
（Ⅱ）若
OA
•
OB
=
2
3
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若
OA
•
OB
=m（
2
3
≤m≤
3
4
），求△OAB面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A，B．
（1）若弦AB的長為
4
3
，求直線l的方程；
（2）當直線l滿足條件（1）時，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=r12（r1＞0）與圓C：（x-a）2+（y-b）2=r22（r2＞0）內(nèi)切，且兩圓的圓心關(guān)于直線l：x-y+
2
=0對稱．直線l與圓O相交于A、B兩點，點M在圓O上，且滿足
OM
=
OA
+
OB

（1）求圓O的半徑r1及圓C的圓心坐標；
（2）求直線l被圓C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，圓C：（x-4）2+y2=4，P（m，n）（m•n≠0）是圓O和圓C外一點．
（1）過點P作圓O的兩切線PA、PB，如圖①，試用m，n表示直線AB的斜率；
（2）過點P分別向圓O，圓C引兩條切線PA，PB和PM，PN，其中A，B，M，N為切點如圖②，試在直線x+y-4=0上求一點P，使AB⊥MN．

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同步練習(xí)冊答案