Question

設(shè)點M為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一動點，點A（2，2）為橢圓內(nèi)的一定點，點F₁（4，0）為橢圓的右焦點，則4|MA|+5|MF₁|的最小值是

17

．

Answer 1

分析：作PB⊥右準(zhǔn)線，且與右準(zhǔn)線交于點B，由橢圓的第二定義可知，

|MF 1|

|MB|

=

4

5

，|MA|+

5

4

|MF 1| =|MA|+|MB|，由題意可知，|MA|+

5

4

|MF₁|的最小值即4|MA|+5|MF₁|的最小值的

1

4

，也即為點A（2，2）到準(zhǔn)線 x=

25

4

的距離．由此可求出4|MA|+5|MF₁|的最小值．

解答：解：由題設(shè)條件可知，橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的離心率為：e=

4

5

．
作PB⊥右準(zhǔn)線，且與右準(zhǔn)線交于點B，
4|MA|+5|MF₁|=4(|MA|+

5

4

|MF 1| )，
由橢圓的第二定義可知，

|MF 1|

|MB|

=

4

5

，∴|MA|+

5

4

|MF 1| =|MA|+|MB|．
由題意可知，|MA|+

5

4

|MF₁|的最小值即|MA|+|MB|的最小值的

1

4

，
|MA|+

5

4

|MF₁|的最小值也即點A（2，2）到準(zhǔn)線 x=

25

4

的距離，
其最小值為

25

4

-2=

17

4

．
則4|MA|+5|MF₁|的最小值是 17．
故答案為：17．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、橢圓中最小值的求法，借助橢圓的第二定義可以準(zhǔn)確求解．