Question

如圖所示，在1號(hào)管上套著大小不同（從大到小）的n個(gè)鐵環(huán)，按下列規(guī)則：①每次移動(dòng)一個(gè)鐵環(huán)；②較大的鐵環(huán)不能放在較小鐵環(huán)的上面．將鐵環(huán)全部套到3號(hào)管上，最少需要移動(dòng)的次數(shù)設(shè)為a_n，猜想a_n 的表達(dá)式，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)n=1時(shí)，從1號(hào)管移到3號(hào)管上有一種方法1→3，即a₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，從1號(hào)管移到3號(hào)管上分3步，即1→2，1→3，2→3，有三種方法，即a₂=3，當(dāng)n=3時(shí)，從1號(hào)管移到3號(hào)管上分七步，即1→3，1→2，3→2，1→3，2→1，2→3，1→3，有七種方法，即a₃=7；同理，得a₄=15；猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1；現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，①驗(yàn)證n=1時(shí)，a_n成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，a_k=2^k-1成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2^k+1-1也成立；即證得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2ⁿ-1．
解答：解：由題意，知a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15．
推測(cè)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，從1號(hào)管移到3號(hào)管上只有一種方法，即a₁=1，這時(shí)a_n=1=2¹-1成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，a_k=2^k-1成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，將1號(hào)管上的k+1個(gè)鐵環(huán)看做由k個(gè)鐵環(huán)和最底層1個(gè)鐵環(huán)組成的，由假設(shè)可知，將1號(hào)管上的k個(gè)鐵環(huán)移到2號(hào)管上有a_k=2^k-1種方法，再將最底層1個(gè)鐵環(huán)移到3號(hào)管上有1種移法，最后將2號(hào)管上的k個(gè)鐵環(huán)移到3號(hào)管上（此時(shí)底層有一張最大的鐵環(huán)）又有a_k=2^k-1種移動(dòng)方法，故從1號(hào)管上的k+1個(gè)鐵環(huán)移到3號(hào)管上共有a_k+1=a_k+1+a_k=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1種移動(dòng)方法．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n=2ⁿ-1成立．
由①②可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2ⁿ-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列知識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要按照（1）驗(yàn)證，（2）假設(shè)，（3）證明的步驟解答．