Question

已知函數(shù)f(x)＝mx²－mx－1.
（1）若對于x∈R，f(x)＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）的取值范圍（2）的取值范圍

試題分析:（1）對于含二次項恒成立的問題，注意討論二次項系數(shù)是否為0，這是學(xué)生容易漏掉的地方.（2）恒成立問題一般需轉(zhuǎn)化為最值，利用單調(diào)性證明在閉區(qū)間的單調(diào)性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式.（4）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.
試題解析:解析（1）由題意可得m＝0或?m＝0或－4＜m＜0
?－4＜m≤0.
故m的取值范圍為(－4,0].                               6分
（2）∵f(x)＜－m＋5?m(x²－x＋1)＜6，
∵x²－x＋1＞0，∴m＜對于x∈[1,3]恒成立，
記g(x)＝，x∈[1,3]，
記h(x)＝x²－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù).則g(x)在[1,3]上為減函數(shù)，  
∴[g(x)]_min＝g（3）＝，  ∴m＜.   所以m的取值范圍為.      3分