Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的極小值；

（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）,證明：．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運用導(dǎo)數(shù)求切線方程、單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識和方法，突出考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，對求導(dǎo)，將代入得到切線的斜率，由已知得，即，所以；第二問，利用第一問的結(jié)論得到的解析式，對求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值；第三問，先用分析法得出與結(jié)論等價的式子，即，先證不等式的右邊，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，所以，即，再證不等式的左邊，同樣構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)，求出最小值，即，即，綜合上述兩部分的證明可得.

試題解析：（1）依題意得，則

由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：

∴ .

（2）由（1）得 

∵函數(shù)的定義域為，令得或

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的極小值為

（3）證法一：依題意得，

要證，即證

因，即證 

令（），即證（）

令（）則

∴在（1，+）上單調(diào)遞減，

∴  即，                  ①

令（）則

∴在（1，+）上單調(diào)遞增，

∴=0，即（）                  ②

綜①②得（），即．

【證法二：依題意得，

令則

由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又

即

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3.分析法證明不等式.