Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個(gè)值；

（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．（Ⅲ）．

【解析】解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，

又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．  4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．    8分

（Ⅲ）解：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image019.png">平面，

所以為與平面所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image022.png">，所以分別為，，，的中點(diǎn)．

可知，．

所以．   12分

解法二：

以D為原點(diǎn)，射線(xiàn)DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

 

 

 

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

，

，

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image047.png">，所以是平面PQEF的法向量．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image049.png">，所以是平面PQGH的法向量．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image051.png">，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．  4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811343882811887/SYS201205181135293906540839_DA.files/image053.png">，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由為中點(diǎn)可知，分別為，，的中點(diǎn)．

所以，，因此與平面所成角的正弦值等于

． 12分