Question

6．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD⊥平面ABCD，平面SDC⊥平面ABCD，SD=$\sqrt{3}$，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE交SB于點(diǎn)F．
（1）求證：EF∥CD；
（2）求三棱錐S-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB，知CD∥平面SAB，由此能證明CD∥EF．
（2）推導(dǎo)出EF⊥平面SAD，由此能求出三棱錐S-DEF的體積．

解答 證明：（1）∵在直角梯形ABCD中CD∥AB，
AB?平面SAB，CD?平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
又∵平面CDEF∩平面SAB=EF，
∴CD∥EF．…（6分）
解：（2）∵CD⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD，同理AD⊥SD，
由（1）知EF∥CD，∴EF⊥平面SAD，
∵EC=AC，∠ADC=∠EDC=90°，
∴△ADC≌△EDC，∴ED=AD，
在Rt△SDA中，∵AD=1，SD=$\sqrt{3}$，∠SAD=60°，
又∵ED=AD=1，∴E為SA中點(diǎn)，EF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴△SED的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐S-DEF的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{24}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要 認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．