Question

4個男同學(xué)，3個女同學(xué)站成一排，下列情況各有多少種不同排法：
（1）3個女同學(xué)必須排在一起；
（2）同學(xué)甲和同學(xué)乙之間恰好有3人；
（3）女同學(xué)從左往右按從高到低排（3個女同學(xué)身高互不相等）．

Answer 1

解：（1）∵3個女同學(xué)必須排在一起，可看成一個整體，
與4個男同學(xué)進行排列，共有A₅⁵種不同的排法，
3個女同學(xué)之間還要進行全排列，有A₃³種不同的排法，
根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有A₃³•A₅⁵=720種不同的方法
（2）∵同學(xué)甲和同學(xué)乙之間恰好有3人，
∴先選3人放入甲乙之間，有A₅³種不同的放法，
再把甲乙與這3人看成一個整體，與剩余2人進行全排列，有A₃³種不同的排法，
甲乙之間還要進行全排列，有A₂²種不同的排列，
根據(jù)分步計數(shù)原理知共有A₅³•A₂²•A₃³=720 種不同的方法．
（3））∵女同學(xué)從左往右按從高到低排，
∴女同學(xué)之間的順序確定，
先把7個人進行全排列，再除以女同學(xué)的順序，
共有 種不同的排列．
答：（1）3個女同學(xué)必須排在一起有720種結(jié)果
（2）同學(xué)甲和同學(xué)乙之間恰好有3人有720種結(jié)果
（3）女同學(xué)從左往右按從高到低排有840種結(jié)果．
分析：（1）3個女生排在一起，可以把必須排在一起的看成一個整體，與剩余元素進行全排列，注意看做整體的元素之間還要進行全排列．
（2）因為要求甲乙之間恰有3人，可以先選3人放入甲乙之間，再把這5人看做一個整體，與剩余的2個元素進行全排列，注意甲乙之間還有一個排列．
（3）因為女同學(xué)從左往右按從高到低排，所以3個同學(xué)的順序是確定的，只需先不考慮女同學(xué)的順序，把7人進行全排列，再除以女同學(xué)的一個全排列即可得到結(jié)果．
點評：本題主要考查排列組合的實際應(yīng)用，本題涉及到相鄰問題，順序確定問題，本題解題的關(guān)鍵是對于有限制元素的問題的解法，本題是一個中檔題目．