Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，若不等式f（ax+6）+f（2-x²）＜0對?x∈[2，4]都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將所給的不等式轉(zhuǎn)化為：不等式f（2-x²）＜f（-ax-6），再由單調(diào)性和題意得2-x²＜-ax-6對?x∈[2，4]都成立，分離出a構(gòu)造函數(shù)y=x-

8

x

，判斷出此函數(shù)的單調(diào)性，再求出它的最小值，即可求出a的范圍．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴不等式f（ax+6）+f（2-x²）＜0轉(zhuǎn)化為：
不等式f（2-x²）＜-f（ax+6）=f（-ax-6），
則由題意得，2-x²＜-ax-6對?x∈[2，4]都成立，
即ax＜x²-8，
又x＞0，則a＜x-

8

x

對?x∈[2，4]都成立，
∵y=x-

8

x

在[2，4]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)y=x-

8

x

的最小值是-2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＜-2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合，抽象不等式的轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性去掉不等式中的符號“f”，考查恒成立問題，學(xué)生分析解決問題的能力．