Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函數(shù)f（x）在[，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a(bǔ)=0代入f（x），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題；
（II）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，將其轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[，2]上存在于區(qū)間使得不等式g（x）＞0恒成立，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可以看出，圖象開口向上，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；
（III）對(duì)f（x）進(jìn)行求解，可以設(shè)出h（x）=2x²-2ax+1，對(duì)a進(jìn)行討論：a≤0或a＞0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題；
解答：解：（I）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx+x²的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值為1；
（II）f′（x）=+2x-2a=，設(shè)g（x）=2x²-2ax+1
由題意知，在區(qū)間[，2]上存在于區(qū)間使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于拋物線g（x）=2x²-2ax+1開口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜，由g（）＞0，即-a+1＞0，∴a＜，
∴a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，）
（III）∵f′（x）=，設(shè)h（x）=2x²-2ax+1，
①顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
這時(shí)f′（x）＞0此時(shí)f（x）沒有極值點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x＜或x＞時(shí)，h（x）＞0，這時(shí)f′（x）＞0，
∴當(dāng)a＞時(shí)，x=是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)a≤時(shí)，函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)；
當(dāng)a時(shí)，x=是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究求閉區(qū)間上的最值問題，此題綜合性比較強(qiáng)，這類題型是高考的熱點(diǎn)問題，解的過程中我們用到了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想，是一道中檔題；