Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x＞時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求x的范圍；當(dāng)x≤時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得答案．
（2）當(dāng)x＞時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)可求出零點(diǎn)；當(dāng)x≤時(shí)對(duì)函數(shù)判別式進(jìn)行分析可得答案．
解答：解（1）當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）=1-=
由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≤時(shí)，f（x）=x²+2x+a-1=（x+1）²+a-2，
∴f（x）在上是增函數(shù)
∴f（x）的遞增區(qū)間是（-1，）和（1，+∞）．
（2）當(dāng)x＞時(shí)，由（1）知f（x）在（，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增且f′（1）=0．
∴f（x）有極小值f（1）=1＞0，
此時(shí)f（x）無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)x≤時(shí)，f（x）=x²+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
當(dāng)△＜0，即a＞2時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)．
當(dāng)△=0，即a=2時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)-1．
當(dāng)△＞0，且f（）≥0時(shí)，
即∴時(shí)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)：
x=或x=，即x=-1+或x=-1-
當(dāng)△＞0且f（）＜0，即∴a＜-時(shí)，f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)-1-
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系和函數(shù)零點(diǎn)的求法．屬中檔題．