Question

如果x∈（-

π

2

，0）時總有k（x+

π

2

）＞cosx成立，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、(

  2

  π

  ，+∞)
• D、[

  2

  π

  ，+∞)

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：先設t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），得到k＞

sin(x+ π 2 )

x+ π 2

=

sint

t

，設f（t）=

sint

t

，利用導數，判斷函數f（t）為減函數，再根據根據羅必達法則求得

lim

t→0

sint

t

=1，問題得以解決．

解答： 解：x∈（-

π

2

，0）令t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），
∴cosx=sin（x+

π

2

）∈（0，1），
∵k（x+

π

2

）＞cosx，
即k＞

sin(x+ π 2 )

x+ π 2

=

sint

t

，
設f（t）=

sint

t

，
∴f′（t）=

tcost-sint

t2

，
令g（t）=tcost-sint，
∴g′（t）=cost-tsint-cost=-tsint，
∵t=x+

π

2

∈（0，

π

2

），
∴g′（t）＜0，
∴g（t）為減函數，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴f′（t）＜0，
∴函數f（t）為減函數，
∴根據羅必達法則得對f（t）=

sint

t

分子求導為cosx，分母求導為1，
∴

cos0

1

=1，
∴

lim

t→0

sint

t

=1，
∴f（t）＜f（0）=1，
∴k≥1，
即k∈[1，+∞），
故選：B．

點評：本題主要考查了導數和函數的單調性的關系，以及參數的取值范圍，關鍵是求出得

lim

t→0

sint

t

=1，屬于難題．