Question

已知函數(shù)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)，設(shè)g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8，然后討論△的正負，再進一步考慮導函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：f（x）的定義域是（0，+∞），．
設(shè)g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8．
①當△=a²-8＜0，即時，對一切x＞0都有f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當△=a²-8=0，即時，僅對有f′（x）=0，對其余的x＞0都有f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
③當△=a²-8＞0，即時，
方程g（x）=0有兩個不同的實根，，0＜x₁＜x₂．

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		_		+
f（x）	單調(diào)遞增↗	極大	單調(diào)遞減↘	極小	單調(diào)遞增

此時f（x）在上單調(diào)遞增，在是上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化的能力和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．