對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”a*b=
a2-ab，a＜b
b2-ab，a＞b
設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
分析：由新定義寫出分段函數(shù)f（x）=（2x-1）*（x-1）=
2x2-x，x＜0
-x2+x，x＞0
，然后作出分段函數(shù)的圖象，關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，是指函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由2x-1＜x-1得，x＜0．
由定義運(yùn)算a*b=
a2-ab，a＜b
b2-ab，a＞b
，
則f（x）=（2x-1）*（x-1）=
(2x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＜0
(x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＞0
=
2x2-x，x＜0
-x2+x，x＞0

函數(shù)f（x）=-x2+x （x＞0）的最大值是-(
1
2
)2+
1
2
=
1
4
．
函數(shù)f（x）的圖象如圖，

由圖象看出，關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，
1
4
）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查了分段函數(shù)的圖象，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，判斷一個(gè)方程根的個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b=
a，a-b≤1
b，a-b＞1
，設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2）?（x-1），x∈R，若函數(shù)y=f（x）-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是
（-2，1]∪（1，2]
（-2，1]∪（1，2]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•福建）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“﹡”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
設(shè)f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是
(
1-
3
16
，0)
(
1-
3
16
，0)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(0，
1
4
)
(0，
1
4
)
；x1+x2+x3的取值范圍是
(
5-
3
4
，1)
(
5-
3
4
，1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=
-a2+2ab-1，a≤b
b2-ab，a＞b.
設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1•x2•x3的取值范圍是（　�。�
A、(-
1
32
，0)
B、(-
1
16
，0)
C、(0，
1
32
)
D、(0，
1
16
)

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