Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為．
（I）求ω的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（III）若f（a）=，求sin（π-4a）的值．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為，
∴函數(shù)的最小正周期為π
∴=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）
∴-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z
∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=
∴sin（π-4a）=sin[-2（2a+）]=-cos[2（2a+）]=2sin²（2a+）-1=-．
分析：（I）利用二倍角公式即輔助角公式，化簡函數(shù)，利用直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為，可得函數(shù)的最小正周期為π，根據(jù)周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函數(shù)的單調性，可得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根據(jù)sin（π-4a）=sin[-2（2a+）]=-cos[2（2a+）]=2sin²（2a+）-1，即可求得結論．
點評：本題考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調性，考查學生的計算能力，周期確定函數(shù)解析式是關鍵．