Question

 

    已知函數(shù)（且）．

    （Ⅰ）當(dāng)時，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

    （Ⅱ）若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求t的值；

    （Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，試求a的取值范圍．

注：e為自然對數(shù)的底數(shù)。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），

    由于，故當(dāng)x∈時，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以，

    故函數(shù)在上單調(diào)遞增。        ………………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng) a＞0，a≠1時，因?yàn)?，且  在R上單調(diào)遞增，

    故 有唯一解x=0。

    要使函數(shù)  有三個零點(diǎn)，所以只需方程  有三個根，

    即，只要 ，解得t=2；  ………………………………9分

（Ⅲ）因?yàn)榇嬖?i>x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，

    所以當(dāng)x∈[﹣1,1]時，。

    由（Ⅱ）知，，

                。

    事實(shí)上，。

    記 （）

    因?yàn)?nbsp;

    所以  在上單調(diào)遞增，又。

    所以   當(dāng) x＞1 時，；

           當(dāng) 0＜x＜1 時，，

    也就是當(dāng) a＞1時，；

    當(dāng) 0＜a＜1時，。

    ① 當(dāng)時，由，得，

                    解得 。

    ②當(dāng)0＜a＜1時，由，得，

                    解得 。

    綜上知，所求a的取值范圍為。