關于函數(shù)f(x)=
x2+1|x|
(x∈R,x≠0)
,有下列命題:
(1)函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱;
(2)在區(qū)間(-∞,0)上,f(x)是減函數(shù);
(3)函數(shù)y=f(x)的最小值是2;
(4)在區(qū)間(1,+∞)上,f(x)是增函數(shù).
其中正確的命題是
(1)(4)
(1)(4)
分析:f(x)=
x2+1
|x|
(x∈R,x≠0)
是偶函數(shù),知函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱;
再由函數(shù)f(x)=|x|+
1
|x|
的單調(diào)性可判其他命題.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=
x2+1
|x|
(x∈R,x≠0)
,顯然f(-x)=f(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,故(1)正確;
當x≠0時,f(x)=|x|+
1
|x|
,令t=|x|,則y=f(x)=t+
1
t
,故y′=1-
1
t2

令y′>0時,t>1;令y′<0時,0<t<1;
可知當x∈(0,1)時,f(x)單調(diào)遞減,當x∈(1,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增;
當x∈(-1,0)時,f(x)單調(diào)遞減,當x∈(-∞,-1)時,f(x)單調(diào)遞增.
即在x=1處取到極小值為2,無極值.
故(2)錯誤,(3)不正確,(4)正確.
故答案為:(1)(4).
點評:本題考查命題的真假判斷,是基礎題.解題時要認真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關于函數(shù)f(x)=x+
1
x
的性質(zhì),有如下說法:
①函數(shù)f(x)的最小值為3;
②函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞).
其中所有正確說法的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列關于函數(shù)f(x),x∈[ab]的命題中,正確的是(  )

A.若x0∈[ab]且滿足f(x0)=0,則x0f(x)的一個零點

B.若x0f(x)在[a,b]上的零點,則可以用二分法求x0的近似值

C.函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點

D.用二分法求方程的根時,得到的都是近似解

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科目:高中數(shù)學 來源:徐州模擬 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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