Question

（2010•唐山三模）A、B是雙曲線(xiàn)

x2

3

-y²=1上兩點(diǎn)，M為該雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，且

AM

=

MB

．
（Ⅰ）求|

OM

|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（Ⅱ）求|

AB

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于M為該雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，故可得M（

3

2

，m），由

AM

=

MB

，知M為AB的中點(diǎn)，進(jìn)而假設(shè)直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可求的參數(shù)的范圍，進(jìn)而可確定|

OM

|的取值范圍；
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式可得|

AB

|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=

3(k2+1) 2

k2(1-3k2

)，根據(jù)基本不等式有4k²（1-3k²）≤（

4k2+1-3k2

2

）²=

(k2+1)2

4

，從而可求|

AB

|取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

3

2

，記M（

3

2

，m），并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

AM

=

MB

，知M為AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的斜率k存在，且k≠0，于是直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-

3

2

）+m，
代入雙曲線(xiàn)方程，并整理得（1-3k²）x²+3k（3k-2m）x-

3

4

（3k-2m）²-3=0
因?yàn)?nbsp; 1-3k²≠0，x₁+x₂=3，
所以-

3k(3k-2m)

1-3k2

=3，∴km=

1

2

，
△=9 k²（3k-2m）²+3（1-3k²）[（3k-2m）²-3]=

3(k2+1)(1-3k2)

k2

由△＞0，得 0＜k²＜

1

3

，所以m²＞

3

4

．
因?yàn)閨

OM

|=

( 3 2 ) 2+m2

＞

3

，
故|

OM

|的取值范圍為（

3

，+∞）．
（Ⅱ）|

AB

|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=

3(k2+1) 2

k2(1-3k2

)
因?yàn)?k²（1-3k²）≤（

4k2+1-3k2

2

）²=

(k2+1)2

4

所以|

AB

|²≥

48(k2+1)2

(k2+1)2

=48，當(dāng)且僅當(dāng)k²=

1

7

時(shí)取“=”號(hào)．
故當(dāng)k=±

7

7

時(shí)，|

AB

|取得最小值4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線(xiàn)為載體，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．