Question

7．已知{f_n（x）}滿足${f_1}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}（x＞0）$，f_n+1（x）=f₁（f_n（x））．
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)f_n（x）的猜想．

Answer 1

分析 （1）依題意，計(jì)算f₂（x）=f₁[f₁（x）]可求得f₂（x），同理可求f₃（x），可猜想想：${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）${f_2}（x）={f_1}[{f_1}（x）]=\frac{{{f_1}（x）}}{{\sqrt{1+{f_1}^2（x）}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+2{x^2}}}}$，
${f_3}（x）={f_1}[{f_2}（x）]=\frac{{{f_2}（x）}}{{\sqrt{1+{f_2}^2（x）}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+3{x^2}}}}$
猜想：${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
①當(dāng)n=1時(shí)，${f_1}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}$，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即${f_k}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${f_{k+1}}（x）={f_1}[{f_k}（x）]=\frac{{\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}}}{{\sqrt{1+{{（\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}）}^2}}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+（k+1）{x^2}}}}$
即對(duì)n=k+1時(shí)，猜想也成立；
結(jié)合①②可知，猜想${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$對(duì)一切n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，突出考查推理證明的能力，屬于中檔題．