Question

19．奇函數(shù)f（x）是R上的函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為$f（x）=\frac{2}{x}-1$
（1）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．
（2）用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)f（x）在R上的解析式．當(dāng)f（a）=3時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為$f（x）=\frac{2}{x}-1$，可求x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．
（2）由f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0，綜合（1）可得f（x）在R上的解析式，根據(jù)定義域范圍不同，將a帶入不同的解析式，由f（a）=3，求a的值．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為$f（x）=\frac{2}{x}-1$，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，可得f（-x）=$\frac{2}{-x}-1$=-f（x）
∴f（x）=$\frac{2}{x}+1$．
故得當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{2}{x}+1$．
（2）f（x）是R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0．
∴f（x）在R上的解析式為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-1，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{\frac{2}{x}+1，（x＜0）}\end{array}\right.$，
①f（a）=3，即$\frac{2}{a}-1=3，a＞0$，
解得：a=$\frac{1}{2}$．
②f（a）=3，即$\frac{2}{a}+1=3，a＜0$，無解．
∴當(dāng)f（a）=3時(shí)，a的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法和帶值計(jì)算的能力．要注意定義域的范圍．屬于基礎(chǔ)題．