Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x+a，當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，f（x）的最小值為-3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和與差的正弦及三角恒等變換的應(yīng)用，可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，依題意，可得a+1-

3

=-3，從而可求得a的值．

解答： 解：f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1+cos2x+a
=

3

sin2x+cos2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，
所以，[2sin（2x+

π

6

）+a+1]∈[a+1-

3

，3+a]，
因?yàn)楫?dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，f（x）的最小值為-3，
所以a+1-

3

=-3，
解得：a=

3

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦，考查三角恒等變換的應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)閉區(qū)間上的最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．