(2013•薊縣二模)已知△ABC中的重心為O,直線MN過重心O,交線段AB于M,交線段AC于N其中
AM
=m
AB
AN
=n
AC
,且
AO
AB
AC
,其中λ,μ為實數(shù).則6m+3n的最小值為
3+2
2
3+2
2
分析:利用重心定理和向量共線定理、向量運算法則即可得出.
解答:解:如圖所示,
設線段BC的中點為D,則
AO
=
2
3
AD
,
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)
,∴
AO
=
1
3
AB
+
1
3
AC
,
①當MN∥BC時,m=n=
2
3
,∴6m+3n=6.
②當MN與BC不平行時,m,n≠
2
3
.由題意可知
1
2
≤m≤1

OM
=s
MN
,
MN
=
AN
-
AM
,∴
OM
=s(
AN
-
AM
)
=sm
AB
-sn
AC

m
AB
=
AM
=
AO
+
OM
=
1
3
AB
+
1
3
AC
+sm
AB
-sn
AC
=(
1
3
+sm)
AB
+(
1
3
-sn)
AC

m=
1
3
+sm
0=
1
3
-sn
,化為n=
m
3m-1

則6m+3n=6m+
3m
3m-1
=2(3m-1)+
1
3m-1
+3≥2
2(3m-1)•
1
3m-1
+3=3+2
2
,當且僅當
2+
2
6
時取等號.
綜上可知:6m+3n的最小值是3+2
2

故答案為3+2
2
點評:熟練掌握重心定理和向量共線定理、向量運算法則等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)在正項等比數(shù)列{an}中,a2a4=4,S3=14,數(shù)列{bn}滿足bn=log2an,則數(shù)列{bn}的前6項和是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)設f(x)=2x-2-x.若當θ∈[-
π
2
,0)
時,f(m-
1
cosθ-1
)+f(m2-3)>0
恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)命題:“若 xy=0,則 x=0或 y=0”的逆否命題為:
若 x≠0且 y≠0 則 xy≠0
若 x≠0且 y≠0 則 xy≠0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)下列命題中,正確命題的個數(shù)為( 。
①若xy=0,則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0,則xy≠0;
②函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在區(qū)間是(1,2);
③x=2是x2-5x+6=0的充分不必要條件.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)如果執(zhí)行如面的程序框圖,那么輸出的S=( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案