設(shè){an}（n∈N*）為等差數(shù)列，則使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的數(shù)列{an}的項數(shù)n的最大值是________．
50
分析：根據(jù)等差數(shù)列|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|=2010，可得數(shù)列{a
n}中 的有正有負，不妨設(shè)
，根據(jù)題意可得d＞3，根據(jù)|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=2010，去絕對值求和，即可求得結(jié)果．
解答：{a
n}（n∈N
*）為等差數(shù)列，因為|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|，
∴{a
n}中的項一定滿足
或
，
且項數(shù)n為偶數(shù)，設(shè)n=2k，k∈N
*，等差數(shù)列的公差為d，首項為a
1，不妨設(shè)
，
則a
1＜0，d＞0，且a
k+3＜0，由
可得d＞3，
∴|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=-a
1-a
2-…-a
k+a
k+1+a
k+2+…+a
2k=-2（a
1+a
2+…+a
k）+（a
1+a
2+…+a
k+a
k+1+a
k+2+…+a
2k）
=-2[ka
1+
d]+2ka
1+
d=k
2d=2010，
∵d＞3，
∴k
2d=2010＞3k
2，解得k
2＜670，而k∈N
*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|=2010成立的數(shù)列{a
n}的項數(shù)n的最大值是50．
故答案為：50．
點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)題意求出數(shù)列的項的特點和公差的范圍是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．
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