Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，給定兩點A（1，0），B（0，一2），點C滿足，其中，且．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）設(shè)點C的軌跡與橢圓交于兩點M,N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）。

（2）由

以MN為直徑的圓過原點O，

為定值。

（3）橢圓長軸的取值范圍是。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，由可得

有，即點C的軌跡方程為                 4分

（2）由

設(shè)

則

∵以MN為直徑的圓過原點O，

為定值               9分

（3）

∴橢圓長軸的取值范圍是                     12分

考點：本題主要考查軌跡方程求法，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：中檔題，本題求軌跡方程，主要運用的是平面向量的線性運算及向量的坐標(biāo)運算和向量的相等。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。