分析:對于①,由f(x-2)=-f(x)對一切x∈R恒成立即可判斷①的正誤;
對于②,利用①f(x)是以4為周期的周期函數,當-1≤x≤1時,f(x)=x3即可求得f(x)在[1,3]上的解析式,從而可判斷其正誤;
對于③,由f(1+x)=f(1-x)與f(-1+x)=f(-1-x)即可判斷③的正誤;
對于④,由②f(x)在[1,3]上的解析式為f(x)=(2-x)3;即可求得f(x)在(
,f(
))處的切線的斜率,從而求得切線方程,可對④的正誤作出判斷.
解答:解:對于①,∵f(x-2)=-f(x)對一切x∈R恒成立,
∴f[(x-2)-2]=-f(x-2)=f(x),即f(x-4)=f(x)
以-x代x得:f(-x-4)=f(-x),
又函數y=f(x)是定義域為R的奇函數,
∴-f(x+4)=-f(x),
∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)是以4為周期的周期函數,故①正確;
對于②,令1≤x≤3,則-1≤2-x≤1,故-1≤x-2≤1,
∵-1≤x≤1時,f(x)=x3,
∴f(x-2)=(x-2)3;
∵f(x-2)=-f(x),
∴-f(x)=(x-2)3,
∴f(x)=(2-x)3,故②正確;
∵f(x-2)=-f(x),
∴f[-1+(x-1)]=f[-1-(x-1)]=-f(x),
∴f(x)的圖象關于x=-1對稱;
∵f(2-x)=f(x),
∴f[1+(1-x)]=f[1-(1-x)],
∴f(x)的圖象關于x=1對稱,
故③正確;
對于④,∵f(x)在[1,3]上的解析式為f(x)=(2-x)3;
∴f′(x)|
|
,又f(
)=(2-
)
=
∴f(x)在(
,f(
))處的切線方程為:y-
=-
(x-
)
整理得:3x+4y=5.
故④正確.
故選D.
點評:本題考查命題的真假判斷與應用,考查函數的周期性及函數解析式的求解及常用方法,考查利用導數研究曲線上某點切線方程,綜合性強,屬于中檔題