Question

設函數是定義域為R的奇函數，且滿足對一切恒成立，當時，。則下列四個命題中正確的命題是
①是以4為周期的周期函數；②在上的解析式為；③的圖象的對稱軸中有；④在處的切線方程為。

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

D

分析：對于①，由f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立即可判斷①的正誤；
對于②，利用①f（x）是以4為周期的周期函數，當-1≤x≤1時，f（x）=x3即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，從而可判斷其正誤；
對于③，由f（1+x）=f（1-x）與f（-1+x）=f（-1-x）即可判斷③的正誤；
對于④，由②f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）3；即可求得f（x）在( ，f())處的切線的斜率，從而求得切線方程，可對④的正誤作出判斷．
解答：解：對于①，∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數，故①正確；
對于②，令1≤x≤3，則-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1時，f（x）=x3，
∴f（x-2）=（x-2）3；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）3，
∴f（x）=（2-x）3，故②正確；
∵f（x-2）=-f（x），
∴f[-1+（x-1）]=f[-1-（x-1）]=-f（x），
∴f（x）的圖象關于x=-1對稱；
∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的圖象關于x=1對稱，
故③正確；
對于④，∵f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）3；
∴f′（x）||，又f()=(2-)=
∴f（x）在( ，f())處的切線方程為：y-=-(x-)
整理得：3x+4y=5．
故④正確．
故選D．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的周期性及函數解析式的求解及常用方法，考查利用導數研究曲線上某點切線方程，綜合性強，屬于中檔題