Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用單調(diào)性求最值． 解題思路：(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再求最小值． ∵當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋x＋2，對于任意的x1、x2∈[1，＋∞)，且x1<x2時(shí),有f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)<０恒成立， ∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)． ∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝． (2)分a≥0和a<0兩種情形進(jìn)行討論． 當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)恒為正； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝3＋a當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min＝3＋a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立．故a>－3． 評點(diǎn)：函數(shù)的最值問題往往與函數(shù)的單調(diào)性4緊密相關(guān)．本例 (2)也可以采用如下解法： 在區(qū)間[1，＋∞)上f(x)>0恒成立，等價(jià)于x2＋2x＋a＞０恒成立，即函數(shù)y＝x2＋2x＋a的最小值大于零． ∵y＝x2＋2x＋a＝(x＝1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝3＋a，當(dāng)且僅當(dāng)3＋a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立． 故a>－3．