Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過定點P（-2，1），斜率為k，若直線l與拋物線僅有一個公共點，則k=

-1或0或

1

2

．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2）+1，聯(lián)立方程可得，

y=k(x+2)+1 y2=4x

，整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）．直線與拋物線只有一個公共點?（*）沒有根．k=0時，y=1符合題意；k≠0時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0．由此能求出k的值．

解答：解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2）+1，
聯(lián)立方程可得，

y=k(x+2)+1 y2=4x

，
整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根
①k=0時，y=1符合題意
②k≠0時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0
整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
綜上可得，k=

1

2

或k=-1或k=0．
故答案為：-1或0或

1

2

．

點評：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．易錯點是容易忽視k=0的情況，從而造成丟解．