Question

18．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點按坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得到曲線C'．
（1）以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C'的極坐標(biāo)方程；
（2）若點A在曲線C'上，點B（3，0），當(dāng)點A在曲線C'上運動時，求AB中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移，代入?yún)��?shù)方程，消去參數(shù)可求曲線C′的普通方程，即可求曲線C'的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），點A在曲線C′上，點B（3，0），點A在曲線C′上，列出方程組，即可求AB中點P的軌跡方程．

解答 解：（1）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$代入坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得C'的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$
∴曲線C'的普通方程為x²+y²=1，
∴曲線C'的極坐標(biāo)方程ρ=1．…（5分）
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中點為P
所以有：x₀=2x-3，y₀=2y
又點A在曲線C'上，∴代入C'的普通方程x₀²+y₀²=1得（2x-3）²+（2y）²=1
∴動點P的軌跡方程為（2x-3）²+（2y）²=1．…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程間的關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力．