Question

設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由．
（3）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對于都有

Answer 1

(1)；(2)不存在，見解析；（3）見解析.

試題分析：（1）根據(jù)題中給的a_n=5S_n+1，繼而可得a_n-1=5s_n-1+1，兩式子相減得，a_n-a_n-1=5a_n，因此,因而可得出a_n，b_n的通項公式;（2）根據(jù)b_n的通項公式，算出的前n項和為R_n，再計算出是否存在正整數(shù)k;（3）根據(jù)b_n的通項公式，計算出c_n的通項公式，再比較T_n與的大小.
（1）當時，,又,
,∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，（2）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（1）知


∴當n為偶數(shù)時，設 ,∴
當n為奇數(shù)時，設
∴
∴對于一切的正整數(shù)n，都有,∴不存在正整數(shù)，使得成立;（3）由得
又， 當時，，當時，