Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通向公式；
（Ⅱ）令b_n=（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）n=1時(shí)，a₁=S₁=3，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（（n-1）²+2（n-1））=2n+1
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
故數(shù)列數(shù)列{a_n}的通向公式為a_n=2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
所以b_n===-=-（-），
所以Tn=-（1-+-++-）=
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
分析：（I）由題意知a₁=3，n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=2n，即可求出通項(xiàng)公式；
（II）先由（1）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式并整理成b_n=-（-），然后利用列項(xiàng)求和求出Tn=（1-）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此題采取裂項(xiàng)的方法求和，屬于基礎(chǔ)題．