Question

一束光線從點F₁（-1，0）出發(fā)，經直線l：2x-y+3=0上一點P反射后，恰好穿過點F₂（1，0）．      
（Ⅰ）求點F₁關于直線l的對稱點F₁′的坐標；
（Ⅱ）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓C的方程；
（Ⅲ）設直線l與橢圓C的兩條準線分別交于A、B兩點，點Q為線段AB上的動點，求點Q 到F₂的距離與到橢圓C右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設F₁‘的坐標為（m，n），則且．由此能求出點F₁′的坐標．
（Ⅱ）由|PF₁′|=|PF₁|，得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=，由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由，知橢圓的準線方程為x=±2．設點Q的坐標為（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示點Q到F₂的距離，d₂表示點Q到橢圓的右準線的距離．則=，令，則=，由此能求出最小值和此時點Q的坐標．
解答：解：（Ⅰ）設F₁的坐標為（m，n），則且．
解得，因此，點F₁′的坐標為（-）．
（Ⅱ）∵|PF₁′|=|PF₁|，根據(jù)橢圓定義，
得2a=|PF₁′|+|PF₂|=|F₁F₂|=，
∴．∴所求橢圓方程為．
（Ⅲ）∵，∴橢圓的準線方程為x=±2．
設點Q的坐標為（t，2t+3）（-2＜t＜2），d₁表示點Q到F₂的距離，d₂表示點Q到橢圓的右準線的距離．
則，d₂=|t-2|．
=，令，則=，
∵當，，t=-，f′（t）＞0．
∴f（t）在t=-時取得最小值．
因此，最小值=，此時點Q的坐標為（-）（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用橢圓性質，注意合理地進行等價轉化．