Question

如圖所示，已知圓O：x²+y²=4，直線m：kx-y+1=0．
（1）求證：直線m與圓O有兩個(gè)相異交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線m與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

解析�。�1）證明　直線m：kx-y+1=0可化為y-1=kx，
故該直線恒過(guò)點(diǎn)（0，1），而（0，1）在圓O：x²+y²=4內(nèi)部，
所以直線m與圓O恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
（2）圓心O到直線m的距離為 d=

1

1+k2

，而圓O的半徑r=2，
故弦AB的長(zhǎng)為|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
故△AOB面積S=

1

2

|AB|×d=

1

2

×2

4-d2

×d=

4d2-d4

=

-(d2-2)2+4

．
而d²=

1

1+k2

，因?yàn)?+k²≥1，所以d²=

1

1+k2

∈（0，1]，
顯然當(dāng)d²∈（0，1]時(shí)，S單調(diào)遞增，所以當(dāng)d²=1，即k=0時(shí)，S取得最大值

3

，
此時(shí)直線m的方程為y-1=0．