Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA₁上，．
（Ⅰ）求BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明MN⊥BC₁；
（Ⅲ）求二面角C-C₁B-M的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取M為AC的中點(diǎn)，可證得∠BC₁M為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角．
（II）證明MN垂直面BMC1，用線面垂直依據(jù)線面垂直的定義證線線垂直．
（III）過C作CP⊥C₁M于P，作CQ⊥C₁B于Q，連接PQ，證明角CQP為二面角的平面角，由題設(shè)條件知，欲證CP垂直于C₁B，可通過證CP垂直于C₁BM來求證，
解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥BM，又M是正△ABC邊AC的中點(diǎn)，
∴BM⊥AC，
∵CC₁∩AC=C
∴BM⊥平面ACC₁A₁
∴∠BC₁M為BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角
又
∴sin∠BC₁M=（5分）
（Ⅱ）證明：依題意得，，
因?yàn)镸N²+C₁M²=C₁N²
∴MN⊥C₁M由（Ⅰ）知BM⊥MN，而C₁M∩BM=M，
所以MN⊥平面BC₁M
所以MN⊥BC₁（9分）
（Ⅲ）過C作CP⊥C₁M于P，作CQ⊥C₁B于Q，連接PQ
∵BM⊥平面ACC₁A₁
∴平面BMC₁⊥平面ACC₁A₁
∴CP⊥平面BMC₁，（11分）
又∵CQ⊥C₁B
∴PQ⊥C₁B
∴∠PQC是所求二面角C-C₁B-M的平面角
∵，
∴
∴二面角C-C₁B-M的大小為（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查線面角的求法，利用線面垂直證線線垂直，求二角角，本題考查 的是立幾中的重點(diǎn)知識(shí)，基本技能．