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已知橢圓C長軸的兩個頂點為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點B的任意一點，直線AN與橢圓C交于點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），求證：直線NM經過定點．

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達定理求點的坐標，根據直線與以為直徑的圓的另一個交點為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點.

試題解析：(Ⅰ)設,由得   ,其中,

整理得點的軌跡方程為.                   (4分)

（Ⅱ）設點，則直線的方程為，

解方程組，消去得，

設，則，，（8分）

從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個交點為，，

方程為,即,過定點,        (12分)

考點：橢圓方程，直線與橢圓的關系，定點問題.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若
ED
=6
DF
，求k的值；
（3）求四邊形AEBF面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B為橢圓C：
x2
m+1
+
y2
m
=1的長軸的兩個端點，P是橢圓C上的動點，且∠APB的最大值是
2π
3
，則m=
1
2
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，C，D是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AC，BD的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0．若|k1|+|k2|的最小值為
3
，則橢圓的離心率為
1
2
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長軸的兩個端點為A、B，右焦點為F，AF=5BF．若橢圓M經過點C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當點P（m，n）在橢圓M上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍．

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