Question

（2011•重慶一模）已知函數(shù)f（x）=x+1，設g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）．
（I）求g₂（x）、g₃（x）的表達式，并直接寫出g_n（x）（n∈N^*）表達式；
（II）設S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），若關于x的函數(shù)y=x²+S_n（x）（n∈N^*）在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為6，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式；
（2）根據(jù)（1）的結果代入求出y=x²+S_n（x），轉化為二次函數(shù)利用配方法求最值，討論對稱軸是否在定義域內．

解答：解：（I）∵g₁（x）=f（x）=x+1，g_n（x）=f（g_n-1（x））
當n=2時，g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，（2分）
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
猜想g_n（x）=x+n（4分）
（II）∵g_n（x）=x+n，
∴S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x）=nx+

n(n+1)

2

（6分）
∴y=x²+s_n（x）=x2+nx+

n(n+1)

2

（8分）
1°當-

n

2

≥-1，即n≤2時，函數(shù)y=(x+

n

2

)2+

n2+2n

4

在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)
∴當x=-1時，ymin=

n2-n+2

2

=6，即n²-n-10=0，該方程沒有整數(shù)解（10分）
2°當-

n

2

＜-1，即n＞2時，ymin=

n2+2n

4

=6，解得n=4，
綜上所述，n=4（12分）

點評：此題考查代入法求函數(shù)的解析式、歸納法、和二次函數(shù)求最值的配方法等基本方法，體現(xiàn)了分類討論的思想．很好的考查了學生的閱讀能力和靈活應用知識分析解決問題的能力