Question

在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，點(diǎn)（2，），（）．

（Ⅰ）求經(jīng)過，，的圓的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程為是參數(shù)，為半徑），若圓與圓相切，求半徑的值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，再將O、A、B三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，將O、A、B的坐標(biāo)代入方程，列出關(guān)于參數(shù)的方程組，解出參數(shù)，就求出了過OAB三點(diǎn)的圓的方程，再利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化公式，將過OAB三點(diǎn)圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將圓D的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，由（Ⅰ）中圓C的直角坐標(biāo)方程求出圓心C的坐標(biāo)與半徑，利用兩圓相切，圓心間的距離等于半徑之和或之差，列出關(guān)于的方程，解出.

試題解析：（Ⅰ）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，

∴點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（2，2）；

過O，A，B三點(diǎn)的圓C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2，

即x2-2x+y2-2y=0；

化為極坐標(biāo)方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，

即 5分

（ II）圓D的參數(shù)方程是參數(shù)，為半徑）化為普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a2；

圓C與圓D的圓心距|CD|==,

當(dāng)圓C與圓D相切時，=或=，解得或. 10分

考點(diǎn)：極坐標(biāo)與做極坐標(biāo)互化，待定系數(shù)法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化，兩圓的位置關(guān)系