Question

已知函數f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）．給出下列命題：
①f（x）可能是奇函數；
②f（x）可能是偶函數；
③當f（0）=f（2）時f（x）的圖象必關于x=1對稱；
④f（x）在（a，+∞）上是增函數
其中正確命題的序號是________．

Answer 1

解：①b=0時，函數是奇函數，可知①正確；
②當b≠0時，f（x）不具有奇偶性；故②錯；
③令a=1，b=0，則f（x）=|x|x-2x
此時f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x|x-2x是奇函數，其圖象不關于x=1對稱；故③錯；
④f（x）=|x|x-2ax+b=，它的對稱中心為（0．b），

因此f（x）在（a，+∞）上單調遞增，故④正確．
故答案為：①④．
分析：①b=0時，函數是奇函數，可知①正確；
②當b≠0時，f（x）不具有奇偶性，故②不正確；
③令a=0，b=-2，則f（x）=|x|x-2，此時f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x|x-2x是奇函數，其圖象不關于x=1對稱；故③錯；
④根據圖象的平移變換可知函數f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）的對稱中心為（0．b），因此可知④正確．
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，屬中檔題．．