Question

已知定義在正實(shí)數(shù)集R⁺上的減函數(shù)f（x）滿足：
①f（

1

2

）=1；
②對任意正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）若f（x）=-2，求x的值；
（2）求不等式f（2x）+f（5-2x）≥-2的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1得f（1）=0，令x=2，y=

1

2

，求得f（2）=-1，再令x=y=2，得到f（4）=-2，再由單調(diào)性，即可得到x的值；
（2）原不等式等價為f[2x•（5-2x）]≥f（4），再由函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，注意定義域的運(yùn)用，解出它們，求交集即可．

解答： 解：（1）由于對任意正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），
則令x=y=1得，f（1）=2f（1），即f（1）=0，
又f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1=0，即有f（2）=-1，
則f（4）=2f（2）=-2，
由于f（x）在R⁺上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則f（x）=-2時，即有x=4；
（2）f（2x）+f（5-2x）≥-2=f（4），
即f[2x•（5-2x）]≥f（4），
又由于f（x）是R⁺的減函數(shù)，則

2x＞0 5-2x＞0 2x(5-2x)≤4

，即

x＞0 x＜ 5 2 x≥2或x≤ 1 2

，
故原不等式的解集為（0，

1

2

]∪[2，

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：解方程和解不等式，注意定義域的限制，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．