Question

【題目】如圖1，在邊長為 的正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點(diǎn)，沿 EO將矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如圖2所示，點(diǎn)G 在BC上，BG=2GC，M、N分別為AB、EG中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面OBC；
（Ⅱ）求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）法一如圖13取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，
則中位線FN∥ OE且FN= OE，

又BM∥ OE且BM= OE
所以FN∥BM且FN=BM，所以四邊形BFNM是平行四邊形，所以MN∥BF，
又MN平面OBC，BF平面OBC，所以MN∥平面OBC
法二：如圖14，延長EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，
因?yàn)锽M∥OE且BM=OE，所以 ，
M為EQ中點(diǎn)，
所以中位線MN∥QG
又MN平面OBC，QG面OBC，所以MN∥平面OBC．
（Ⅱ）解：

法一如圖14，因?yàn)镺B=OC= ，∠BOC=120°，
所以 ，
又BG=2GC．所以 ， ，
∴OB2+OG2=BG2 ， ∴∠BOG=90°，OG⊥OB，
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG面OBC，
∴OE⊥OG
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，QE面OBE OG⊥QE，
又M為EQ中點(diǎn)，所以O(shè)Q=OE= ，所以O(shè)M⊥QE，OM∩OG=O，
所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角．
所以Rt△MOG中， ， ， ，∴二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為
法二：如圖，∵OB=OC= ，∠BOC=120°，
∴
又BG=2GC，∴ ， ，
∴OB2+OG2=BG2 ，
∴∠BOG=90°，OG⊥OB，
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG面OBC，
∴OE⊥OG
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，OE面OBE，∴OG⊥OE
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則M（ ，G（0，1，0），E ， ，
而 是平面BOE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面MGE的法向量為 ，
則 ，
令 z=1，則 ，
面MGE的一個(gè)法向量為 ，
所以
所以，二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為

【解析】（Ⅰ）法一：取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，證明MN∥BF，然后證明MN∥平面OBC．法二：延長EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，證明M為EQ中點(diǎn)，推出MN∥QG，然后證明MN∥平面OBC．（Ⅱ）法一：證明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，證明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，說明∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可．法二：建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出面BOE的一個(gè)法向量，平面MGE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．