Question

在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，．過點(diǎn)M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點(diǎn)N₁，．記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x'，y'），進(jìn)而可知點(diǎn)M₁的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)和N₁的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，進(jìn)而代入求得x和x'的關(guān)系，y和y'的關(guān)系，代入中求得x和y的關(guān)系，曲線C的方程可得，判斷出曲線C是橢圓．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k．直線l的方程為y=k（x-5），直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為R（x，y），進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而求得R的坐標(biāo)，根據(jù)|BP|=|BQ|推斷BR⊥l，進(jìn)而可知k•k_BR=-1，進(jìn)而建立等式整理得20k²=20k²-4，結(jié)論不可能成立，進(jìn)而判斷不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x'，y'），則M₁的坐標(biāo)為（0，y'），，于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為，N₁的坐標(biāo)
為，所以
由
由此得
由，
即所求的方程表示的曲線C是橢圓．
（Ⅱ）點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C
無交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k．直線l的方程為y=k（x-5）．
由方程組
依題意
當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為R（x，y），
則∴
又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k•k_BR=-1，
，
而20k²=20k²-4不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．當(dāng)涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，常需要把直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求得答案．