Question

 

如圖，已知雙曲線 (a＞0，b＞0)其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c,0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：（O為原點(diǎn)）且（λ≠0）

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）若a＝2，過(guò)點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，

問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?為常數(shù)，

若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）∵B(0,-b)，A(

∵2          ∴D為線段FP的中點(diǎn)        1分

∴(c,即A、B、D共線                  2分

∴而?,?∴(

得a=2b∴e=           4分?

（Ⅱ）∵a=2而e=雙曲線方程為①5分∴B(0,-1)

假設(shè)存在定點(diǎn)C(0,n)使為常數(shù)u，

設(shè)MN的方程為y=kx-1          ②          6分

由②代入①得

由題意得得

設(shè)M(?          8分

而?

=?

整理得：［4］［8-］=0       10分

對(duì)滿足

∴解得n=4,u=17

故存在y軸上的定點(diǎn)C(0,4),使為常數(shù)17          12分