Question

已知命題p：在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實數(shù)x，使不等式x²+ax-2＞0成立；命題q：方程sinx•cosx=a+2，x∈（0，

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π]有兩個解．若命題“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q的等價條件，然后利用命題“p∨q”是真命題，則命題P、q至少一個為真命題，求a的取值范圍．

解答：解：由于在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實數(shù)x，不等式x²+ax-2＞0成立；
令f（x）=x²+ax-2，則f（1）＞0或f（-1）＞0
解得：a＜-1或a＞1，
∴命題p為真命題時，a＜-1或a＞1；
∵a+2=

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2

sin2x，x∈（0，

3

4

π]有兩個解，
∴0＜a+2＜

1

2

，解得：-2＜a＜-

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2

∴命題q為真命題時，-2＜a＜-

3

2

由于命題“p或q”是真命題，根據(jù)復(fù)合命題真值表，命題p、q至少一個為真命題，
①當(dāng)命題p為真命題q為假命題時，a≤-2或-

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2

≤a＜-1或a＞1；
②當(dāng)命題p為假命題q為真命題時，a無解；
③當(dāng)命題p為真命題也為真命題時，a＜-1或a＞1；
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為：a＜-1或a＞1．

點評：本題主要考查復(fù)合命題的與簡單命題的真假應(yīng)用，將命題進行等價化簡是解決此類問題的關(guān)鍵．