Question

定義：若函數(shù)在某一區(qū)間D上任取兩個實數(shù)、，且，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間D上具有性質(zhì)L。
（1）寫出一個在其定義域上具有性質(zhì)L的對數(shù)函數(shù)（不要求證明）。
（2）對于函數(shù)，判斷其在區(qū)間上是否具有性質(zhì)L？并用所給定義證明你的結(jié)論。
（3）若函數(shù)在區(qū)間（0，1）上具有性質(zhì)L，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）有，證明見解析（3）

本題以函數(shù)為載體，考查新定義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對新定義的理解，恒成立問題采用分離參數(shù)法．
（1）寫出的函數(shù)是下凹的函數(shù)即可；
（2）函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L，運用定義法加以證明即可。
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2則＞0，只需要在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，故可求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）（或其它底在（0，1）上的對數(shù)函數(shù)）�！�………2分
（2）函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L�！�………3分
證明：任取、，且
則

、且，，
即>0，
所以函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L。……………7分
（3）任取、，且
則

、且，，
要使上式大于零，必須在、上恒成立，
即，，即實數(shù)的取值范圍為……………12分