Question

在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時P_i＞P_j（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數(shù)為a_n，如排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式；
（Ⅱ）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，證明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₂=3，排列4321的逆序數(shù)a₃=6得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，找出規(guī)律得到a_n即可；
（Ⅱ）利用基本不等式的到b₁+b₂+…+b_n＞2n；根據(jù)bn=

n

n+2

+

n+2

n

=2+

2

n

-

2

n+2

，n=1，2，…，列舉出各項得到b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，即得證．

解答：解：（Ⅰ）由排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₂=3，排列4321的逆序數(shù)a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）因為bn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n

n+2

+

n+2

n

＞2

n n+2 • n+2 n

=2，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．
又因為bn=

n

n+2

+

n+2

n

=2+

2

n

-

2

n+2

，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．
綜上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…

點評：考查學生會利用數(shù)列求和的方法證明不等式成立，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值．