已知：A（5，0），B（0，5），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．
（1）若
AC
⊥
BC
，求sin2α；
（2）若|
OA
+
OC
|=
31
，求
OB
與
OC
的夾角．
分析：（1）求出
AC
，
BC
，由于
AC
⊥
BC
，那么
AC
•
BC
=0，化簡，即可得到sin2α，求解即可．
（2）求出
OA
+
OC
，利用|
OA
+
OC
|=
31
，解出cosα，再求
OB
•
OC
，利用cosθ=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
求
OB
與
OC
的夾角．
解答：解：（1）
AC
=(cosα-5，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-5)，（1分）
AC
⊥
BC
，∴
AC
•
BC
=cosα(cosα-5)+sinα(sinα-5)=0，
即sinα+cosα=
1
5
，（4分）
∴(sinα+cosα)2=
1
25
，∴sin2α=-
24
25
，（7分）
（2）
OA
+
OC
=(5+cosα，sinα)，
則|
OA
+
OC
|=
(5+cosα)2+sin2α
=
31
（9分）
∴cosα=
1
2
又α∈（0，π），∴sinα=
3
2
，C(
1
2
，
3
2
)，
∴
OB
•
OC
=
5
3
2
，（11分）
設
OB
與
OC
夾角為θ，則cosθ=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
5
2
3
5•1
=
3
2
，
∴θ=30°，
OB
與
OC
夾角為30°．（14分）．
點評：本題考查平面向量的數(shù)量積，二倍角的正弦，同角三角函數(shù)的基本關系式，考查學生計算能力，是基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知兩點A（-
5
，0）、B（
5
，0），△ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M（2，0）作兩條射線，分別交（Ⅰ）中所求軌跡于P、Q兩點，且
MP
•
MQ
=0，求證：直線PQ必過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）已知點A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的動點，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q．
（1）證明點Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．
（2）若(
BQ
+
BA
)•
QA
=0，求點Q的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知點A（5，0），點B在直線y=6上運動，點C單位圓x2+y2=1運動，求AB+BC的最小值及對應點B的坐標．
（2）點P在直線y=6上運動，過點P作單位圓x2+y2=1的兩切線，設兩切點為Q和R，求證：直線QR恒過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的動點，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q，則點Q（x，y）所滿足的軌跡方程為（　　）

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