解:(1)∵函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),∴f′(x)=
令其為0可得x=1,
并且當x∈(0,1)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=1處取到極大值f(1)=0
(2)由(1)知,當x
1∈(0,1)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
故f(x
1)<f(1)=0,
因為a≥1,函數(shù)g(x)=x
2-3ax+2a
2-5,為開口向上的拋物線,對稱軸為x=
故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),故g(1)<g(x
0)<g(0),
即g(x
0)<2a
2-5,
要使對于任意x
0∈(0,1),總存在x
1∈(0,1),使得f(x
1)=g(x
0)成立,
只需2a
2-5<0即可,解得
(3)由(1)可知f(x)在x=1處取到極大值f(1)=0,也是最大值,
故f(x)≤f(1)=0,即lnx-x+1≤0,即lnx≤x-1,當x=1時取等號,
可證
,又
,故
構(gòu)造函數(shù)F(x)=
,則F′(x)=
=
>0
即函數(shù)F(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,當x趨向于正無窮大時,F(xiàn)(x)趨向于0,
故F(x)<0,即
,
故有
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)分別求出兩個函數(shù)的取值范圍,要使對于任意x
0∈(0,1),總存在x
1∈(0,1),使得f(x
1)=g(x
0)成立,只需2a
2-5<0即可;
(3)結(jié)合(1)的結(jié)論可證后半部分,再利用構(gòu)造函數(shù)的方式證明前半部分,可得答案.
點評:本題為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)來解決問題是關(guān)鍵,屬中檔題.